2. fANOVA의 두 Measure — Joint vs Product

같은 fANOVA 분해라도, 적분에 사용하는 측도(measure)에 따라 결과가 달라진다.

작성 중

이 페이지는 현재 작성 중이며, 내용이 추가·변경될 수 있습니다.

다룰 내용

2.0 실험에 사용된 4가지 방법론

본 부록에서 언급하는 A-1, A-2, B-1, B-2는 다음과 같다.

코드	분해 방법	적분 측도 (Measure)	설명
A-1	Mobius Inversion	Joint (조건부 분포)	관측치 기반으로 \( E[f \mid x_S] \)를 조건부 평균으로 계산
A-2	Mobius Inversion	Product (주변분포)	leaf value에 주변 확률을 곱하여 \( E_{\text{product}}[f \mid x_S] \) 계산
B-1	Tensor + Mass-Moving	Joint (조건부 분포)	트리별 coefficient 텐서를 조건부 가중치로 centering
B-2	Tensor + Mass-Moving	Product (주변분포)	트리별 coefficient 텐서를 주변분포 가중치로 centering

• A-1 = B-1, A-2 = B-2는 동일한 결과를 산출하며, 계산 경로만 다르다.
• Joint measure는 SHAP의 tree_path_dependent에, Product measure는 interventional에 대응된다.

2.1 Product Measure (전통적 fANOVA)

• \( f_j(x_j) = \int f(x) \prod_{k \neq j} dP(x_k) - f_0 \)
• 변수 독립 가정 → 직교성 보장 → Variance Decomposition 가능
• Hoeffding (1948), Sobol (1969)의 원래 정의

2.2 Joint Measure (Hooker 2007)

• \( f_j(x_j) = \int f(x) \, dP(x_{-j} \mid x_j) - f_0 \)
• 실제 데이터 분포 사용 → 직교성 깨짐 → Cross-covariance 발생
• Hooker (2007) Generalized Functional ANOVA

2.3 Cross-Covariance의 불가피성

예시 — 실제 신용평가모형에서의 분산 분해

저자가 과거 개발에 참여했던 신용평가모형에 4가지 방법론을 적용한 결과, 대략 아래와 같은 추세를 보였다.

	Joint (A-1/B-1)	Product (A-2/B-2)
Main	~50%	~50%
2-way	< 1%	< 1%
Cross-cov	~50%	~50%

• 두 measure 모두 Cross-cov가 전체 분산의 약 절반을 차지했다. 그 이유:
• Product measure 하에서 이론적 직교는 보장되지만
• 실제 데이터 위에서 평가하면 \( \text{Cov}_{\text{data}}(f_i, f_j) \neq 0 \)
• 데이터 상관이 존재하는 한, 어떤 measure를 쓰든 Cross-cov는 남음

2.4 두 Measure의 비교표

• Reconstruction: 둘 다 성립
• mu (intercept): 서로 다른 값
• 변수 중요도 순위: 유사하지만 미세 차이
• 답하는 질문이 다를 뿐, 둘 다 수학적으로 유효

2.5 우리 실험 — Shape Function 비교

• B-1 vs B-2의 동일 변수 shape function 비교 그림
• Joint measure: 상관 효과가 묻어 들어가 진폭이 다름

---

참고: Hooker (2007). Generalized Functional ANOVA Diagnostics for High-Dimensional Functions of Dependent Variables. JCGS 16(3):709-732